Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]D，使f（x）在[a，b] 上的值域為[a，b] ；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)。
（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[a，b] ；
（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？若是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由題意，在[a，b]上遞減，則
解得，所以所求區(qū)間為[-1，1]
（2）取則，則f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)。
取，即f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)
所以函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。
（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域為[a，b]
即∴a、b為方程的兩個實根，
即方程由兩個不等的實根。
當(dāng)k≤-2時，有，解得
當(dāng)k＞-2時，有，無解。
綜上所述，k∈（-，2].