Question

(1)判斷函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx的奇偶性;

(2)若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)為偶函數(shù)，求φ的值.

Answer 1

解析:(1)函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx的定義域是R,

∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|-sinx|+cosx=|sinx|+cosx=f(x),

∴f(x)是偶函數(shù).

(2)∵f(x)=sin(x+φ)是偶函數(shù),

∴f(-x)=f(x),即

sin(-x+φ)=sin(x+φ)(x∈R).

∴sin(x+φ)+sin(x-φ)=0(x∈R).

∴2sinxcosφ=0(x∈R).

∵當(dāng)x∈R時(shí)，sinx不恒為零，

∴cosφ=0,φ=kπ+(k∈Z).

點(diǎn)評：判斷函數(shù)奇偶性，首先判斷其定義域是否在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后判斷f(-x)與±f(x)的關(guān)系.注意理解f(x)為偶函數(shù)的充要條件是f(-x)=f(x)對其定義域內(nèi)一切x恒成立的含義.