Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F任作一條直線l₁，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l₁垂直于x軸時(shí)，|AB|=1．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過F再作一條直線l₂，使得l₁⊥l₂，且l₂交橢圓于C，D兩點(diǎn)，試問$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$+$\frac{1}{|CF|}$+$\frac{1}{|DF|}$是否為定值，說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由F（$\sqrt{3}$，0），令直線AB的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及t的幾何意義，可得$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=|$\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=4；由于l₁⊥l₂，可將α換為α+$\frac{π}{2}$，即可得到所求定值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由F（c，0），令x=c，可得y=±$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{2^{2}}{a}$=1，a²-c²=b²，
解得a=2，b=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由F（$\sqrt{3}$，0），令直線AB的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入橢圓方程，可得（cos²α+4sin²α）t²+2$\sqrt{3}$cosαt-1=0，
可得t₁+t₂=-$\frac{2\sqrt{3}cosα}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{3}cosα}{1+3si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{1}{1+3si{n}^{2}α}$，
|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{12co{s}^{2}α}{（1+3si{n}^{2}α）^{2}}+\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}}$=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}$，
則有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=|$\frac{{t}_{1}-{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=4；
由于l₁⊥l₂，可將α換為α+$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{|CF|}$+$\frac{1}{|DF|}$=4．
即有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$+$\frac{1}{|CF|}$+$\frac{1}{|DF|}$為定值8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，注意運(yùn)用直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．