Question

4．函數f（x）是定義在R上的偶函數，且周期為2，當0≤x≤1時，f（x）=x²，若直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個公共點，則實數a的值為（　�。�

• A． n（n∈Z）
• B． 2n（n∈Z）
• C． 2n或2n-$\frac{1}{4}$（n∈Z）
• D． n或n-$\frac{1}{4}$（n∈Z）

Answer 1

分析 因為f（x）是定義在R上且周期為2的偶函數，所以當-1≤x≤1時，f（x）=x²；畫出函數圖形，判斷出恰有兩個公共點時的情形．

解答 解：因為f（x）是定義在R上且周期為2的偶函數，所以當-1≤x≤1時，f（x）=x²；
①由圖象可知當直線y=x+a經過點（0，0）時，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個公共點，此時a=0，由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當a=2n時，直線y=x+a與曲線f（x）恰有兩個公共點．
②由圖象可知直線y=x+a與f（x）=x²相切時，直線y=x+a與曲線f（x）也恰有兩個公共點．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=$\frac{1}{2}$，所以y=$\frac{1}{4}$，即切點為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入直線y=x+a得a=-$\frac{1}{4}$．
由于函數f（x）是周期為2的函數，所以當a=2n-$\frac{1}{4}$時，直線y=x+a與曲線f（x）恰有兩個公共點．
故選：C

點評 本題主要考查了函數圖形的基本特征、函數的基本性質、數學結合思想，屬中等題．