Question

已知P為拋物線C：y²=2px（p＞0）的圖象上位于第一象限內的一點，F為拋物線C的焦點，O為坐標原點，過O、F、P三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線的準線的距離為

3

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點N（-4，0）作x軸的垂線l，S、T為l上的兩點，滿足OS⊥OT，過S及T分別作l的垂線與拋物線C分別相交于A與B，直線AB與x軸的交點為M，求證：M是定點，并求出該點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意得

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，p=2，由此能示出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設S(-4，y1)，T(-4，y2)，則

OS

=(-4，y)，

OT

=(-4，y2)，由題意推導出A（4，4），B（4，-4），直線AB過定點（4，0），由此能證明M為定點（4，0）．

解答： （Ⅰ）解：由題意得：點Q的橫坐標為

p

4

，
則

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，p=2
所以拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）證明：設S(-4，y1)，T(-4，y2)，則

OS

=(-4，y)，

OT

=(-4，y2)，
所以

OS

•

OT

=16+y1y2=0，即y1y2=-16
由題意A(

y12

4

，y1) ，B(

y22

4

，y2)，
當y₁+y₂=0時，y₁=-y₂，則y₁=4，y₂=-4，
A（4，4），B（4，-4），直線AB過定點（4，0），
當y1+y2≠0時，kAB=

y1-y2

1 4 (y1+y2)(y1-y2)

=

4

y1+y2

直線AB方程為y-y₁=

4

y1+y2

(x-

y 2 1

4

)，令y=0得x=

- y 2 1 -y1y2

4

+

y 2 1

4

=4．
即M（4，0），綜上過定點M（4，0）．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與x軸的交點為定點的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．