Question

在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，兩球的球心距為13，若作一個平面與兩個球都相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則橢圓的長軸長為______．

Answer 1

設兩個球的球心分別為O₁、O₂，所得橢圓的長軸為AB，
直線AB與O₁O₂交于點E，設它們確定平面α，
作出平面α與兩個球及圓柱的截面，如圖所示
過A作O₁O₂的垂線，交圓柱的母線于點C，設AB切球O₁的大圓于點D，連接O₁D
∵Rt△O₁DE中，O₁E=

1

2

O₁O₂=

13

2

，O₁D=6
∴cos∠DO₁E=

O1D

O1E

=

12

13

∵銳角∠DO₁E與∠BAC的兩邊對應互相垂直
∴∠BAC=∠DO₁E，
得Rt△ABC中，cos∠BAC=

AC

AB

=

12

13

∵AC長等于球O₁的直徑，得AC=12
∴橢圓的長軸AB=13
故答案為：13