Question

4．已知函數f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），若實數a，b滿足f（a+2）+f（b）=0，則a+b等于．

Answer 1

分析 推導出f（x）為奇函數，且單調遞增，從側由實數a，b滿足f（a+2）+f（b）=0，得f（a+2）=-f（b）=f（-b），由此能求出結果．

解答 解：∵函數f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴函數f（x）的定義域為R，關于原點對稱，
又f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-1=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+$x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數，
觀察知函數f（x）單調遞增，
∵實數a，b滿足f（a+2）+f（b）=0，
∴f（a+2）=-f（b）=f（-b），∴a+2=-b，
∴a+b=-2．
故答案為：-2．

點評 本題考查代數式求和，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數的奇偶性和單調性的合理運用．