Question

已知f(x)=

x

，g（x）=x+a  （a＞0）
（1）當(dāng)a=4時，求|

f(x)-ag(x)

f(x)

|的最小值
（2）當(dāng)1≤x≤4時，不等式|

f(x)-ag(x)

f(x)

|＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=4時，先研究函數(shù)F(x)=

f(x)-ag(x)

f(x)

的值域，再求|

f(x)-ag(x)

f(x)

|的最小值；
（2）首先可化簡為|

f(x)-ag(x)

f(x)

|=|

x -ax -a2

x

|=|1-(a

x

+

a2

x

) |（1≤x≤4），設(shè)t=

x

，則問題等價于|1-(at+

a2

t

) |＞1，t∈[1，2]時恒成立，即at+

a2

t

＜0或at+

a2

t

＞2，t∈[1，2]時恒成立，再考查對勾函數(shù)的單調(diào)性，從而建立不等式，求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=4時，|

f(x)-ag(x)

f(x)

|=|

x -4x -16

x

|=|1-(4

x

+

16

x

) |
∵

x

＞0，∴4

x

+

16

x

≥ 16，當(dāng)

x

=

4

x

，即x=4時，取“=”號
故|

f(x)-ag(x)

f(x)

|的最小值為15；
（2）|

f(x)-ag(x)

f(x)

|=|

x -ax -a2

x

|=|1-(a

x

+

a2

x

) |（1≤x≤4）
設(shè)t=

x

，則問題等價于|1-(at+

a2

t

) |＞1，t∈[1，2]時恒成立，
即at+

a2

t

＜0或at+

a2

t

＞2，t∈[1，2]時恒成立，
令 h(t)=a(t+

a

t

)，則只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2或最大值小于0即可，
由函數(shù) y=x+

a

x

的單調(diào)性知

a ＞2 h(t)min=h(2)＞2

或

1≤ a ≤2 h(t)min=h( a )＞2

或

0＜ a ＜1 h(t)min=h(1)＞2

，

a ＞2 h(t)max=h(1)＜0

或

1≤ a ≤2 h(t)max=h(1)＜0 h(2)＜0

或

0＜ a ＜1 h(t)max=h(2)＜0

或a＜0
解得a＞1或a＜0

點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、利用整體代換的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，以及不等式恒成立的證明方法．