Question

13．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=8，a_n=3S_n-1+8（n≥2）
（1）記b_n=log₂a_n，求數列{b_n}的通項公式；
（2）在（1）成立的條件下，設${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據數列的遞推公式和對數的運算性質即可求出數列{b_n}的通項公式，
（2）利用裂項求和即可求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）a₁=8，a_n=3S_n-1+8（n≥2），
∴a_n-1=3S_n-2+8，
∴a_n-a_n-1=3S_n-1+8-3S_n-2-8=3a_n-1，
∴a_n=4a_n-1，
∴{a_n}是以4為公比的等比數列，
∵a₁=8，
∴a_n=8•4^n-1=2•4ⁿ=2²ⁿ⁺¹，
∴b_n=log₂a_n=2n+1，
（2）${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{6n+9}$．

點評 本題考查了數列的遞推公式和裂項求和，屬于中檔題．