Question

20．假設關于某設備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）有如表的統(tǒng)計資料：

使用年限x（年）	2	3	4	5	6
維修費用y（萬元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料可知y對x呈線性相關關系，試求：
（1）線性回歸直線方程；
（2）根據回歸直線方程，估計使用年限為12年時，維修費用是多少？
$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=90；$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=112.3．

Answer 1

分析 （1）根據所給的數據，做出變量x，y的平均數，根據最小二乘法做出線性回歸方程的系數b，在根據樣本中心點一定在線性回歸直線上，求出a的值，寫出線性回歸方程；
（2）當自變量為12時，代入線性回歸方程，求出維修費用，這是一個預報值．

解答 解：（1）列表

i	1	2	3	4	5	合計
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42.0	112.3
xi2	4	9	16	25	36	90
$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5；$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=90；$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=112.3

$\stackrel{∧}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，于是$\stackrel{∧}{a}$=5-1.23×4=0.08．
所以線性回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08．
（2）當x=12時，$\stackrel{∧}{y}$=1.23×12+0.08=14.84（萬元），
即估計使用12年時，維修費用是14.84萬元．

點評 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預報值的求法，是一個新課標中出現的新知識點，已經在廣東的高考卷中出現過類似的題目．