Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²=4x相交于A、B兩點，且

OA

•

OB

=-4．
（1）求直線l恒過一定點的坐標；
（2）求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于-4，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．
（2）假設線段中點坐標，利用中點坐標公式，尋找坐標之間的關系即可求得．

解答：解：（1）設l：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得y²-4ty-4b=0設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2．
∴直線l過定點（2，0）．
（2）設線段AB的中點M（x，y），
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在曲線y²=4x上
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
兩式作差得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=4（x₂-x₁）
即

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=k
則

y= y1+y2 2 = 2 k y=k(x-2)

…（12分）
∴線段AB的中點M的軌跡方程  y²=2（x-2）…（14分）

點評：本題主要考查向量的數量積的運算，考查軌跡方程的求解，利用了代入法，屬于中檔題．