Question

17．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₆=S₃=6
（1）求a_n和S_n
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{2n-1}-λ{(lán)S}_{2n-3，}n≥2}\end{array}\right.$，若b₁，b₂，b₅成等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{2n-1}-λ{(lán)S}_{2n-3，}n≥2}\end{array}\right.$，可得b₁，b₂，b₅．由b₁，b₂，b₅成等比數(shù)列，可得$_{2}^{2}$=b₁•b₅，解出即可．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵a₆=S₃=6，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=6}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）=n，${S}_{n}=\frac{n（1+n）}{2}$．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{2n-1}-λ{(lán)S}_{2n-3，}n≥2}\end{array}\right.$，
∴b₁=S₁=a₁=1，
b₂=S₃-λS₁=$\frac{3×（1+3）}{2}$-λ=6-λ；
b₅=S₉-λS₇=$\frac{9×（1+9）}{2}$-$λ×\frac{7×（1+7）}{2}$=45-28λ．
∵b₁，b₂，b₅成等比數(shù)列，
∴$_{2}^{2}$=b₁•b₅，
∴（6-λ）²=1×（45-28λ），
化為λ²+16λ-9=0，
解得λ=$-8±\sqrt{73}$．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．