Question

【題目】已知橢圓左、右頂點(diǎn)分別為A、B，上頂點(diǎn)為D(0,1)，離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)E是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AE、BE與直線分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，橢圓C上是否存在點(diǎn)T使的面積為？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由橢圓的性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；

（2）根據(jù)題意表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線的方程以及弦長(zhǎng)，由的面積得出點(diǎn)到直線的距離，將該距離轉(zhuǎn)化為兩平行直線的距離，即可得出的坐標(biāo).

（1）

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)為，并且，則

設(shè)，由，解得

由，得到

由，得出，則

，即，所以直線

由，得出

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則

此時(shí)，

直線

若橢圓C上存在點(diǎn)T使的面積為，則點(diǎn)到直線的距離為

即過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線到直線的距離為

設(shè)該直線為，則，解得或

當(dāng)時(shí)，由，解得或

當(dāng)時(shí)，由得

由于，則不成立

綜上，存在或，使的面積為