Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，分別為棱的中點(diǎn)

（1）求三棱柱的體積；

（2）在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，先證明底面ABC,計(jì)算出△ABC的面積，再利用柱體的體積公式求三棱柱的體積.(2)第(2)問，先假設(shè)在直線上存在點(diǎn)P，使得CP||平面AEF，再找到點(diǎn)P的位置，再求AP的長(zhǎng).

試題解析：

（1）三棱柱中，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

又因?yàn)?/span>，

連接 ,所以△是邊長(zhǎng)為2的正三角形.

因?yàn)?/span>E是棱的中點(diǎn)，所以，且

又，所以

又側(cè)面底面ABC，且側(cè)面底面ABC=AB，

又AE側(cè)面，所以底面ABC，

所以三棱柱的體積為

；

（2）在直線上存在點(diǎn)P，使得CP||平面AEF.

證明如下：連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交，設(shè)交點(diǎn)為.連接.

因?yàn)?/span>，故

由于為棱的中點(diǎn)，所以，故有

又為棱的中點(diǎn)，故為的中位線，所以

又平面AEF，平面AEF， 所以平面AEF.

故在直線上存在點(diǎn)P，使得平面AEF.

此時(shí)，所以 .