Question

2．已知雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{16}$=1上一點M的橫坐標為4，則點M到左焦點的距離是$\frac{29}{3}$．

Answer 1

分析 把M的橫坐標4代入雙曲線方程，得到M的坐標，然后求出左焦點的坐標，即可求出結果．

解答 解：依題意可求得a=3，b=4，則c=5，
即左焦點F₁（-5，0），
∵點M的坐標為4，
∴當x=4時，$\frac{16}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
即$\frac{{y}^{2}}{16}$=$\frac{16}{9}$-1=$\frac{7}{9}$，
即y=±$\frac{4\sqrt{7}}{3}$，
設M（4，$\frac{4\sqrt{7}}{3}$），
根據(jù)對稱性只需求點M到F₁（-5，0）的距離，
得d=$\sqrt{（-5-4）^{2}+（\frac{4\sqrt{7}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{81+\frac{112}{9}}$=$\sqrt{\frac{841}{9}}$=$\frac{29}{3}$，
故答案為：$\frac{29}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的性質以及兩點的距離公式，根據(jù)條件求出M和焦點的坐標是解決本題的關鍵．