Question

已知f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1，b=2，c=4時(shí)，求f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）當(dāng)f（1）=f（3）=0，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）表示出f（x），再解二次不等式即可；
（Ⅱ）由f（1）=f（3）=0，可得f（x）=a（x-1）（x-3），分離出參數(shù)a后，f（x）≤1可化為-a≤

1

(x-1)(3-x)

在x∈（1，3）恒成立，利用基本不等式可求

1

(x-1)(3-x)

的最小值，從而得a的范圍，進(jìn)而得a的最小值；

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1，b=2，c=4時(shí)，f（x）=-x²+2x+4，
則f（x）≤1即x²-2x-3≥0，
∴（x-3）（x+1）≥0，解得x≤-1，或x≥3．
所以不等式f（x）≤1的解集為{x|x≤-1，或x≥3}；
（Ⅱ）因?yàn)閒（1）=f（3）=0，
所以f（x）=a（x-1）（x-3），f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，即-a≤

1

(x-1)(3-x)

在x∈（1，3）恒成立，
而0＜(x-1)(3-x)≤[

(x-1)+(3-x)

2

]2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=3-x，即x=2時(shí)取到等號(hào)．     
∴

1

(x-1)(3-x)

≥1，
所以-a≤1，即a≥-1．
所以a的最小值是-1；
（Ⅱ）或解：f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立．
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1=ax²-4ax+3a-1=a（x-2）²-a-1．
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）上恒成立，符合；     
②當(dāng)a＞0時(shí)，易知在x∈（1，3）上恒成立，符合；             
③當(dāng)a＜0時(shí)，則-a-1≤0，所以-1≤a＜0．               
綜上所述，a≥-1
所以a的最小值是-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)恒成立問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．