Question

【題目】已知函數(shù)．

若函數(shù)，求在上的最小值；

Ⅱ記函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)證明

【解析】

Ⅰ求得的對(duì)稱軸，討論當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性，可得所求最小值；

Ⅱ令，，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，分類討論，結(jié)合的單調(diào)性和韋達(dá)定理，可得所求a的范圍；運(yùn)用分析法證明即證，運(yùn)用的解析式即可得證．

Ⅰ函數(shù)的對(duì)稱軸為，

當(dāng)，即時(shí)，

在上遞減，在上遞增，

所以；

當(dāng)，即時(shí)，

在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，

所以；

當(dāng)，即時(shí)，

在上遞增，在上遞減，

所以．

綜上所述，；

Ⅱ令，，

函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于

在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，

不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以在上是單調(diào)函數(shù)，

所以在上至多只有一個(gè)解，

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，由得；

由，得，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，．

要證，即證，

當(dāng)時(shí)，，得，

因?yàn)?/span>，所以，

即．