Question

如圖，矩形ABCD中，AC=8，AB邊上一點(diǎn)P滿(mǎn)足，若離心率為2的雙曲線(xiàn)C以矩形的對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)為漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

(Ⅰ)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若直線(xiàn)y=kx+m(k≠0，m≠0)與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)E、F，且E、F兩點(diǎn)都在以Q(0，-3)為圓心的同一圓上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的離心率為2,所以可設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為=l,

由此可得漸近線(xiàn)的斜率k=±∠BOx=60°,又OB=4從而B(niǎo)(2,),A(2,). 

又因=3,故P(2,),代入雙曲線(xiàn)方程得a²=3,故雙曲線(xiàn)C的方程為：=1. 

(Ⅱ)如圖所示,由方程組(k²-3)x²+2kmx+m²+9=0

設(shè)E(x₁,y₁)、F(x₂,y₂),線(xiàn)段EF的中點(diǎn)為N(x₀,y₀),則有

,①

由韋達(dá)定理得x₀=,y₀=kx₀+m=.  

因?yàn)镋、F兩點(diǎn)都在以Q(0,-3)為圓心的同一圓上,所以NQ⊥EF,即

k_NQ=3k²=4m+9.②

由①,②得m＞4或＜m＜0.