Question

（09年長(zhǎng)郡中學(xué)一模文）（13分）

已知圓，定點(diǎn),點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)

在上，且滿足

（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）過(guò)點(diǎn)作直線，與曲線交于,兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形的對(duì)角線相等（即）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.  

Answer 1

解析：（I）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PNGQ為PN的中垂線|PG|=|GN|  

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，

其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴短半軸長(zhǎng)b=2，

∴點(diǎn)G的軌跡方程是 ………5分

   (Ⅱ)因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090515/20090515091244006.gif' width=100>，所以四邊形OASB為平行四邊形

       若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形

       若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

       矛盾，故l的斜率存在.    ………7分

       設(shè)l的方程為

          ………9分

          ①             ………10分

   ② 

       把①、②代入             ………12分

  ∴存在直線使得四邊形OASB的對(duì)角線相等.  13分