Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$-x）-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）＜m+2對(duì)x∈[0，$\frac{π}{6}$]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，且f（α）=$\frac{11}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式的變形、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由三角函數(shù)的周期公式函數(shù)f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出f（x）的遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍求出$2x+\frac{π}{3}$的范圍，由正弦函數(shù)的最值求出f（x）的最大值，由恒成立列出不等式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）由（1）化簡(jiǎn)f（α）=$\frac{11}{5}$，由α的范圍求出2α+$\frac{π}{3}$的范圍，由平方關(guān)系求出$cos（2α+\frac{π}{3}）$，由兩角差的余弦公式求出cos2α的值．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$-x）-$\sqrt{3}$cos2x
=1-cos（$\frac{π}{2}$-2x）-$\sqrt{3}$cos2x=-sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1
=$-2sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由x∈$[0，\frac{π}{6}]$得，$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取到最大值是$-\sqrt{3}+1$，
∵f（x）＜m+2對(duì)x∈[0，$\frac{π}{6}$]恒成立，∴$-\sqrt{3}+1$＜m+2，
解得m＞$-\sqrt{3}-1$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍（$-\sqrt{3}-1$，+∞）；
（3）由（1）得，f（α）=$-2sin（2α+\frac{π}{3}）+1$=$\frac{11}{5}$，
化簡(jiǎn)得，$sin（2α+\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，
由$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$得，π＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴$cos（2α+\frac{π}{3}）$=$-\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=$-\frac{4}{5}$，
∴cos2α=cos[（2α$+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos$（2α+\frac{π}{3}）$ cos$\frac{π}{3}$+sin $（2α+\frac{π}{3}）$ sin$\frac{π}{3}$
=$-\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+（-\frac{3}{5}）×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{-4-3\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式在化簡(jiǎn)、求值中的應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，注意角的范圍和三角函數(shù)值的符號(hào)，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)變形、計(jì)算能力．