Question

已知f（x）=alnx-bx²圖象上一點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-kx（k∈R），如果g（x）圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為G（x₀，0），問g（x）在x=x₀處是否取得極值．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得f′（x）=

a

x

-2bx，由f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b，由曲線在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2可求得a，b；由

f′(x)= 2 x -2x＞0 x＞0

即可求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）依題意，可求得g′（x）=

2

x

-2x-k，假設(shè)結(jié)論g（x）在x=x₀處取極值，由g′（x）=0成立⇒ln

x1

x2

=

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

，令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），利用導(dǎo)數(shù)可求u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，從而導(dǎo)出矛盾，于是可得g（x）在x=x₀處不是極值點(diǎn)．

解答：解：（1）f′（x）=

a

x

-2bx…1分
f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b，
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1…2分
由

f′(x)= 2 x -2x＞0 x＞0

解得0＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）…4分
（2）g（x）=2lnx-x²-kx（k∈R），
g′（x）=

2

x

-2x-k…5分
假設(shè)結(jié)論g（x）在x=x₀處取極值，則g′（x）=0成立，則有

2lnx1-x12-kx1=0    (1) 2lnx2-x22-kx2=0   (2) x1+x2=2x0               (3) 2 x0 -2x0-k=0            (4)

（1）-（2），得2ln

x1

x2

-（x12-x22）-k（x₁-x₂）=0，
∴k=

2ln x1 x2

x1-x2

-2x₀．
由（4）得k=

2

x0

-2x₀，
∴

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，
即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=

2• x1 x2 -2

x1 x2 +1

（5）…10
令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
∵u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴l(xiāng)nt-

2t-2

t+1

＜0，
∴（5）式不成立，與假設(shè)矛盾，…11分
故g（x）在x=x₀處不是極值點(diǎn)…12分

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，突出構(gòu)造函數(shù)思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的考查，考查抽象思維與創(chuàng)新思維能力．屬于難題．