Question

已知函數(shù)

（1）判定并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）試證明在定義域內(nèi)恒成立；

（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）偶函數(shù)，（2）詳見解析，（3）.

【解析】

試題分析：（1）判定函數(shù)的奇偶性，首先判定定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720142687469696/SYS201411172014367030613382_DA/SYS201411172014367030613382_DA.002.png">關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次研究與的相等或相反的關(guān)系：所以為偶函數(shù)，（2）由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以只需證明時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，當(dāng)時(shí)，所以，由（1）可知：，綜上所述，在定義域內(nèi)恒成立（3）恒成立問題一般利用變量分離法轉(zhuǎn)化為最值問題. 恒成立對(duì)恒成立，∴ ，∴ ，令可證在[1,3]上為減函數(shù) ∴對(duì)恒成立　∴ ，所以m的取值范圍是.

試題解析：【解析】
（1）為偶函數(shù)，證明如下：

定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720142687469696/SYS201411172014367030613382_DA/SYS201411172014367030613382_DA.032.png">關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

對(duì)于任意有： 2分

成立

所以為偶函數(shù) 5分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720142687469696/SYS201411172014367030613382_DA/SYS201411172014367030613382_DA.037.png">定義域?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720142687469696/SYS201411172014367030613382_DA/SYS201411172014367030613382_DA.038.png">，

當(dāng)時(shí)，

，，恒成立， 7分

當(dāng)時(shí)，所以，由（1）可知： 9分

綜上所述，在定義域內(nèi)恒成立 10分

（3）恒成立對(duì)恒成立，

∴ ，∴ ，令

證明在[1,3]上為減函數(shù)（略）（不證明單調(diào)性扣2分）

∴對(duì)恒成立　 12分

∴

所以m的取值范圍是 14分

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性