Question

8．已知函數(shù)f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+6sinxcosx-2cos²x+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，且函數(shù)g（x）的最大值為$\sqrt{2}$．
①求函數(shù)g（x）的解析式；
②函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30個零點，在滿足條件的上述條件[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）對f（x）化簡，代入周期公式得出．
（2）①根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律得出g（x），利用最大值列方程解出m，
②令g（x）=0，即可解出零點的坐標，可得相鄰兩個零點之間的距離．若b-a最小，則a和b都是零點，且中間有14個大間隔距離，15個小間隔距離．

解答 解：（1）f（x）=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）①g（x）=2$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]-m=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-m．∴2$\sqrt{2}$-m=$\sqrt{2}$，解得m=$\sqrt{2}$．∴g（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$．
②令g（x）=0，得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，∴2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$+2kπ，或2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{24}$+kπ，或x=$\frac{7π}{24}$+kπ．k∈Z．
∴相鄰兩個零點之間的距離為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
當b-a最小時，a，b均是g（x）的零點，且在[a，b]上恰好有29個相鄰零點間隔，其中有14個大間隔，15個小間隔．
∴b-a=$\frac{π}{3}×15$+$\frac{2π}{3}$×14=$\frac{43π}{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)求值，屬于中檔題，計算出零點間得距離是關(guān)鍵．