Question

7．已知集合D={（x₁，x₂）|x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=2}，設(shè)u=x₁x₂．
（1）求u的取值范圍．
（2）若（x₁，x₂）∈D，求（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式，其中和為定值，積有最大值；
（2）先化簡，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）的最大值．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=2，
∴u=x₁x₂≤$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$=1
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=1時等號成立，
故u的取值范圍為（0，1]．
（2）（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）=$\frac{1}{u}$+u-$\frac{4-2u}{u}$=u-$\frac{3}{u}$+2，
令y=u-$\frac{3}{u}$，則y′=1+$\frac{3}{{u}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)y=u-$\frac{3}{u}$在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴u=1時，（$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₁）（$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂）的最大值為0．

點評 本題考查不等式的綜合應(yīng)用，以及利用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題，屬于中檔題．