Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，有下列命題：
①滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點；
②λ+μ的最小值不存在；
③滿足λ+μ=1的點P有且只有一個；
④λ+μ的最大值為3．
其中正確的命題序號是：

 

．（寫出所有正確命題序號）

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，取AB=1．由于

AE

=

AD

+

DE

=

AD

-

AB

，

AP

=λ

AB

+μ

AE

，可得

AP

=(λ-μ)

AB

+μ

AD

=（λ-μ）（1，0）+μ（0，1）=（λ-μ，μ）．由動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，分類討論即可得出．

解答： 解：如圖所示，取AB=1．
∵

AE

=

AD

+

DE

=

AD

-

AB

，

AP

=λ

AB

+μ

AE

，
∴

AP

=(λ-μ)

AB

+μ

AD

=（λ-μ）（1，0）+μ（0，1）=（λ-μ，μ）．
由動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，
當P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，
∴1≤λ+μ≤3，
當P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，
∴2≤λ+μ≤3，
當P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3．
①取λ=μ=1滿足λ+μ=2，此時

AP

=

AB

+

AE

=

AD

，因此點P不一定是BC的中點，不正確；
②當P取點A時，λ+μ取得最小值0，因此不正確；
③當點P取B或AD的中點時：滿足λ+μ=1的點P不唯一，因此不正確；
④當點P取C點時，

λ-μ=1 μ=1

，解得λ=2，μ=1，λ+μ取得最大值為3．
綜上可知：只有④正確．
故答案為：④．

點評：本題考查了向量的坐標運算、向量的三角形法則、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．