Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+mx（m＞0），其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（$\frac{1}{e}$，0），求m的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并予以說明；
（3）試確定函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）代入點的坐標(biāo)秒即可求出m的值，
（2）利用定義證明即可；
（3）需要分類討論，當(dāng)m∈（0，e）時，根據(jù)函數(shù)零點定理，以及函數(shù)的單調(diào)性，
當(dāng)m=e時，當(dāng)m∈（e，+∞）時，f（x）在定義域上單調(diào)遞增，得到結(jié)論，
當(dāng)m∈（e，+∞）時，設(shè)x₀=m-e＞0根據(jù)函數(shù)零點定理，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論或構(gòu)造函數(shù)，設(shè)$g（x）={e^x}-\frac{m}{x}（m＞e）$，根據(jù)根據(jù)函數(shù)零點定理得到結(jié)論．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點$（\frac{1}{e}，0）$，
所以 $0=ln\frac{1}{e}+\frac{m}{e}$，
所以 m=e；
（2）因為函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），設(shè)0＜x₁＜x₂，
所以 f（x₁）=lnx₁+mx₁，f（x₂）=lnx₂+mx₂，
所以 $f（{x_1}）-f（{x_2}）=ln{x_1}-ln{x_2}+m（{x_1}-{x_2}）=ln\frac{x_1}{x_2}+m（{x_1}-{x_2}）$，
因為0＜x₁＜x₂，m＞0，所以 $\frac{x_1}{x_2}＜1$，所以$ln\frac{x_1}{x_2}+m（{x_1}-{x_2}）＜0$，
所以 f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x_2），
所以 f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（3）函數(shù)f（x）的零點只有一個
①當(dāng)m∈（0，e）時，f（1）=ln1+m=m＞0$f（{e^{-1}}）=ln{e^{-1}}+m{e^{-1}}=-1+\frac{m}{e}=\frac{m-e}{e}＜0$，
且函數(shù)f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上的圖象是連續(xù)不間斷曲線，
所以由零點定理可得 函數(shù)f（x）在（e^-1，1）上存在一個零點，
又由（2）得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）的零點只有一個．
②當(dāng)m=e時，$f（\frac{1}{e}）=-1+\frac{e}{e}=0$，又由（2）得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的零點只有一個．
方法一：
③當(dāng)m∈（e，+∞）時，設(shè)x₀=m-e＞0
則f（1）=ln1+m=m＞0$f（{e^{-{x_0}-2}}）=ln{e^{-{x_0}-2}}+m{e^{-{x_0}-2}}=-{x_0}-2+\frac{{{x_0}+e}}{{{e^{{x_0}+2}}}}=-{x_0}-2+\frac{x_0}{{{e^{{x_0}+2}}}}+\frac{1}{{{e^{{x_0}+1}}}}$，
因為x₀＞0，所以$\frac{1}{{{e^{{x_0}+1}}}}＜1，\frac{x_0}{{{e^{{x_0}+2}}}}＜1$，
所以 $-{x_0}-2+\frac{x_0}{{{e^{{x_0}+2}}}}+\frac{1}{{{e^{{x_0}+1}}}}＜-{x_0}-2+2=-{x_0}＜0$，即$f（{e^{-{x_0}-2}}）＜0$，
且函數(shù)f（x）在$（{e^{-{x_0}-2}}，1）$上的圖象是連續(xù)不間斷曲線
所以由零點定理可得 函數(shù)f（x）在$（{e^{-{x_0}-2}}，1）$上存在一個零點，
又由（2）得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）的零點只有一個．
方法二：
③當(dāng)m∈（e，+∞）時，設(shè)$g（x）={e^x}-\frac{m}{x}（m＞e）$
則$g（1）=e-m＜0，g（m）={e^m}-\frac{m}{m}={e^m}-1＞0$，
且函數(shù)g（x）在[1，m]上的圖象是連續(xù)不間斷曲線
所以存在x₀∈（1，m），使得g（x₀）=0，即$m={x_0}{e^{x_0}}$，
從而有$f（{e^{-{x_0}}}）=-{x_0}+m{e^{-{x_0}}}=-{x_0}+{x_0}=0$，
且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的圖象是連續(xù)不間斷曲線
又由（2）得f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)m∈（e，+∞）時，函數(shù)f（x）的零點只有一個．

點評 本題考查了函數(shù)零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)可分類討論的能力，轉(zhuǎn)化能力，運算能力，屬于中檔題．