Question

3．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué) （男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答．選題情況如表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計	30	20	50

（Ⅰ） 能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（Ⅱ） 經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5-7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6-8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
附表及公式附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；
（Ⅱ）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率．

解答 解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值K²=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024，
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$（如圖所示）

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域為x＞y，
∴由幾何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$即乙比甲先解答完的概率為$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查幾何概型、獨立性檢驗的應(yīng)用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，根據(jù)所給的臨界值表進行比較，本題是一個綜合題．