Question

【題目】如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，軸，，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過(guò)C上一點(diǎn)的直線與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；定值為

【解析】

（1）由直線和方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，即，即可求出的值；

（2）聯(lián)立直線和直線的方程求出點(diǎn)，聯(lián)立直線和直線的方程求出點(diǎn)，即可得到的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，化簡(jiǎn)即可得到，即命題得證．

（1）設(shè)，因?yàn)?/span>，所以．

由題意可得，直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，而直線的方程為，則∴

又因?yàn)?/span>，所以，解得，故雙曲線C的方程為

（2）由（1）知，則直線的方程為，即

因?yàn)橹本�的方程為，所以直線與的交點(diǎn)，

直線與直線的交點(diǎn)為，則．

因?yàn)?/span>是C上一點(diǎn)，則代入上式得

，故所求定值為．