Question

【題目】（本小題滿分分）

如圖，在中， ， ， 分別為， 的中點，點為線段上的一點，將沿折起到的位置，使，如圖．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求證： ．

（Ⅲ）線段上是否存在點，使平面？說明理由．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】試題分析：（1）D，E分別為AC，AB的中點，易證DE∥平面A1CB；

（2）由題意可證DE⊥平面A1DC，從而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可證A1F⊥平面BCDE，問題解決；

（3）取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC，平面DEQ即為平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，可證A1C⊥平面DEP，從而A1C⊥平面DEQ．

試題解析：

（）證明：∵， 分別為， 的中點，

∴．

又∵平面， 平面，

∴平面．

（）證明：由已知得且，∴．

又∵，∴平面．

而平面，∴．

又∵，∴平面，

∴．

（）線段上存在點，使得平面，理由如下：

如圖，分別取， 的中點， ，則．

又∵，∴，∴平面即為平面．

由（）知， 平面，∴．

又∵是等腰三角形底邊的中點，∴．

∴平面，于是平面．

故線段上存在點，使得平面．