Question

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為，對于任意正整數(shù)m,n, 恒成立.

(Ⅰ)若=1,求及數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ， ， ；(Ⅱ)參考解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過令，可求得.同理可以求出.由于所給的等式中有兩個(gè)參數(shù)m,n.所以以一個(gè)為主元，讓另一個(gè)m=1,和m=2取特殊值通過消去即可得到一個(gè)關(guān)于與的遞推式.從而可求出的通項(xiàng)式，從而通過，可求出通項(xiàng).但前面兩項(xiàng)要驗(yàn)證是否符合.

(Ⅱ)因?yàn)橐阎?/span>，所以令.即可求得與的關(guān)系式.再利用.又得到了一個(gè)關(guān)于與的關(guān)系式.從而可得與的關(guān)系式.又根據(jù)與.可求出.再根據(jù)及.即可求出結(jié)論.最后要驗(yàn)證前兩項(xiàng)是否成立.

試題解析：（1）由條件，得 ①

在①中，令，得 ②

令，得 ③

③/②得，記，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。

④

時(shí)，， ⑤

④-⑤，得，當(dāng)n≥3時(shí)，{}是等比數(shù)列.

在①中，令，得，從而，則，所以.

又因?yàn)?/span>，所以 2分

在①中，令，得，則⑥

在①中，令，得，則⑦

由⑥⑦解得： 6分

則，由

得

又，也適應(yīng)上式，所以. 8分

（2）在①中，令，得，則，所以；

在①中，令，得，則，所以，則，；代入式，得 12分

由條件得

又因,所以

故，

因?yàn)?/span>，也適應(yīng)上式，所以

所以數(shù)列是等比數(shù)列． 14分

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推思想.2.數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的轉(zhuǎn)化關(guān)系.3.歸納推理的思想.4.消元方程化簡的能力.