Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）判斷的奇偶性；

（3）方程是否有實(shí)根？如果有實(shí)根，請求出一個長度為的區(qū)間，使；如果沒有，請說明理由（注：區(qū)間的長度）

Answer 1

【答案】（1）定義域?yàn)?－1,1)；（2）見解析；（3） .

【解析】【試題分析】（1）根據(jù)對數(shù)真數(shù)為正數(shù)，求得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.（2）利用奇偶性的定義判斷出，故函數(shù)為奇函數(shù).（3）將原方程等價變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用二分法可判斷出函數(shù)的根在區(qū)間.

【試題解析】

(1)∵

∴－1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1)．

∵f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－f(x)，且f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

∴f(x)為奇函數(shù)．

(3)由題意知方程f(x)＝x＋1等價于log2(1－x)－log2(1＋x)＝x＋1，可化為(x＋1)2x＋1＋x－1＝0.

設(shè)g(x)＝(x＋1)2x＋1＋x－1，x∈(－1,1)，

則g＝×2－－1＝＜0，

g(0)＝2－1＝1＞0，

∴gg(0)＜0，故方程在上必有實(shí)根．

又∵g＝×2－－1＝

＝＞0，

∴gg＜0，

故方在上必有實(shí)根．

又∵區(qū)間長度－－＝，

∴滿足題意的一個區(qū)間為.