Question

. (本題滿分12分)已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：，且. （I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；（II）過點(diǎn)B的直線與軌跡G交于兩點(diǎn)M，N.試問在x軸上是否存在定點(diǎn)C ,使得 為常數(shù).若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) x軸上存在定點(diǎn)C(1,0) ,使得 為常數(shù)

解析:

（Ⅰ）由余弦定理得：即16＝＝                           

＝，所以，即 （當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B共線時(shí)也符合上述結(jié)論），所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，所以，軌跡G的方程為 （Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)C(m,0),使為常數(shù).①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為

，題意知，，設(shè)，則，于是

∴

＝ 

＝

要是使得 為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)

②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，,當(dāng)時(shí).

 故，在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0) ,使得 為常數(shù).