Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB=2，AC=4，AA₁=3．D是BC的中點．
（1）求直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值；
（2）求直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給的坐標系，可得A、B、C、D、A₁、B₁、C₁各點的坐標，由此得到向量

A1D

、

A1C1

、

DB

、

B 1C1

、

DB1

的坐標，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

A1D

，

B 1C1

＞的值，即可得到直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值；
（2）設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為

n

=（x，y，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出

n

=（3，0，1），從而得到直線DB₁與平面A₁C₁D所成角θ滿足sinθ=cos＜

DB1

，

n

＞=

3 35

35

，即得直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

解答：解：根據(jù)題意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
由此可得

A1D

=（1，2，-3），

A1C1

=（0，4，0），

DB

=（1，-2，0），

B 1C1

=（-2，4，0），

DB1

=（1，-2，3）
（1）∵cos＜

A1D

，

B 1C1

＞=

-2+8

14 • 20

=

3 70

70

，
∴直線A₁D與B₁C₁所成角的余弦值為

3 70

70

；
（2）設(shè)平面A₁C₁D的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • A1D =x+2y-3z=0 n • A 1C1 =4y=0

，取z=1得x=3，y=0，
∴

n

=（3，0，1）是平面A₁C₁D的一個法向量
因此，設(shè)直線DB₁與平面A₁C₁D所成角為θ，
可得sinθ=cos＜

DB1

，

n

＞=

3+3

14 • 10

=

3 35

35

，
即直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值等于

3 35

35

．

點評：本題給出底面為直角三角形的直三棱柱，求異面直線所成角和直線與平面所成角的正弦值，著重考查了利用空間坐標系求空間直線與平面所成角和異面直線所成角等知識點，屬于中檔題．