Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0關于直線x+y-1=0對稱，圓心C在第二象限，半徑為。
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由x²+y²+Dx+Ey+3=0，
得
∴圓C的圓心C的坐標為
半徑
由，得
故D²+E²=20  ①
∵圓C關于直線x+y-1=0對稱，
故圓心在直線x+y-1=0上，
∴，故D+E=-2，②
由②式，得E=-2-D，
代入①式，得D²+（-2-D）²=20，
即D²+2D-8=0，解得D=-4，或D=2
又∵圓心在第二象限，
故，解得D>0，
故D=2，E=-2-2=-4，
∴圓C的方程為：x²+y²+2x-4y+3=0，
即（x+1）²+（y-2）²=2。
（2）直線l在x軸，y軸上的截距相等，設為a，
由（1）知圓C的圓心C（-1，2），
當a=0時，直線l過原點，設其方程為y=kx，
即kx-y=0，
若直線l：kx-y-0與圓C相切，則
即k²-4k-2=0，解得
此時直線l的方程為
即
當a≠0時，直線l的方程為
即x+y-a=0，
若直線l：x+y-a=0與圓C相切，
則
即|a-1|=2，解得a=-1，或a=3
此時直線l的方程為x+y+1=0，或x+y-3=0
綜上所述，存在四條直線滿足題意，其方程為或x+y+1=0或x+y-3=0。