Question

19．已知$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共線，$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$））（λ∈R），則點P的軌跡一定過△ABC的（　�。�

• A． 重心
• B． 內(nèi)心
• C． 外心
• D． 垂心

Answer 1

分析 在△ABC中，分別以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，則$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，從而$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}$，進(jìn)而P一定在△ABC的BC邊的中線上，由此得到點P的軌跡一定過△ABC的重心．

解答 解：在△ABC中，分別以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，
連結(jié)AD、BC，由AD與BC互相平分，
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，
∵$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共線，$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$））（λ∈R），
∴$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}$，∴P一定在△ABC的BC邊的中線上，
∴點P的軌跡一定過△ABC的重心．
故選：A．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法及應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．