Question

已知函數(shù)，（且）.

（1）設(shè)，令，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；

（2）若且的定義域和值域都是，求的最大值；

（3）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)本小題有兩個(gè)思考方向，其一可用單調(diào)性的定義給與證明，通過取值、作差、變形、判號(hào)、結(jié)論可完成證明；其二可用導(dǎo)數(shù)給與證明，通過求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可完成證明；(2)本小題首先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，這樣根據(jù)函數(shù)的定義域和值域都是可得，于是把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，通過根與系數(shù)的關(guān)系可得的表達(dá)式，然后求最值；（3）本小題通過不等式變現(xiàn)可得，即得到不等式對(duì)恒成立,然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值得不等式組，求得參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）證明：

方法一：任取，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減     5分

方法二：,則

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減           5分

（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增；因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040204344543589277/SYS201404020436271233804509_DA.files/image016.png">所以在上單調(diào)遞增，

的定義域、值域都是,則,

即是方程的兩個(gè)不等的正根，

等價(jià)于方程有兩個(gè)不等的正根，

等價(jià)于且  ,則,

 

時(shí)，最大值是         10分

（3）,則不等式對(duì)恒成立，

即

即不等式,對(duì)恒成立,

令,易證在遞增，

同理遞減.

.                   15分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；2.函數(shù)的最值；3.根與系數(shù)關(guān)系.