Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（Ⅲ）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）時，單調(diào)遞增區(qū)間為；時，單調(diào)遞減區(qū)間為，

單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）； （Ⅲ）證明見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)和分類討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時的單調(diào)性可知，即，構(gòu)造函數(shù)，由導函數(shù)分析可得在上增，在上遞減，則，由對任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，從而問題等價轉(zhuǎn)化為證.

試題解析：（Ⅰ）                           1分

時，，在上單調(diào)遞增。                      2分

時，時，，單調(diào)遞減，

時，，單調(diào)遞增.             4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），時，

                           5分

即，記 

 

在上增，在上遞減

故，得                         8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），即，則時，

要證原不等式成立，只需證：，即證：

下證    ①                                      9分

①中令，各式相加，得

            成立，                          

故原不等式成立.                                                  14分

方法二：時，

時，

時，

考點：1.利用導數(shù)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導數(shù)處理不等式的恒成立問題；3.等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法