Question

18．已知點F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過F點作雙曲線的一條漸近線垂線，垂足為A，交另一條漸近線于B，若A點恰好為BF的中點，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為：y=$\frac{a}x$，則另一條漸近線方程為：y=-$\frac{a}x$，設(shè)A（m，$\frac{bm}{a}$），B（n，-$\frac{bm}{a}$），利用A為BF的中點，F(xiàn)A⊥OA，求出b²=3a²，然后求解離心率即可．

解答 解：不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為：y=$\frac{a}x$，
則另一條漸近線方程為：y=-$\frac{a}x$，設(shè)A（m，$\frac{bm}{a}$），B（n，-$\frac{bm}{a}$），
因為F（c，0），A為BF的中點，所以m=$\frac{c+n}{2}$，$\frac{bm}{a}=\frac{\frac{-bn}{a}}{2}$，
解得m=$\frac{1}{4}$，A（$\frac{c}{4}$，$\frac{bc}{4a}$），由FA⊥OA，可得：k_FA•k_OA=-1，
即：$\frac{\frac{bc}{4a}-0}{\frac{c}{4}-c}$•$\frac{a}$=-1，即b²=3a²，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{{a}^{2}}$=2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．