Question

已知橢圓E: +=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且離心率為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若F為橢圓E的左焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),與直線x=-4相交于Q點(diǎn),P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

Answer 1

解:(1)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),

又橢圓以拋物線焦點(diǎn)為頂點(diǎn),

∴a=2,

又e==,

∴c=1,∴b2=3.

∴橢圓E的方程為+=1.

(2)由(1)知,F(-1,0),

由

消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l與橢圓交于兩點(diǎn),

∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

即m2<4k2+3.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1、x2是上述方程的兩個(gè)根,

∴x1+x2=-,x1·x2=,

又y1+y2=kx1+m+kx2+m

=k(x1+x2)+2m

=

∴=+=（-,）,

由點(diǎn)P在橢圓上,得+=1.

整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),

∴=(-3,-4k+m).

∴·=（-,）·(-3,m-4k)

=+

=

=.

即·為定值.