Question

已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，又橢圓上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為．過右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程；

（2）在線段上是否存在點(diǎn),使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）     （2） 

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，中點(diǎn)公式的綜合運(yùn)用。

（1）利用橢圓的離心率和長軸長，得到參數(shù)a,b,c的關(guān)系式，然后求解得到橢圓

（2）利用直線方程與橢圓聯(lián)立方程組，那么可以得到韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解得到參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而借助于函數(shù)的思想求解范圍，

解：（1）因?yàn)殡x心率為，故橢圓的方程為：…5分

（2）若與軸重合時(shí)，顯然與原點(diǎn)重合，合條件

若直線的斜率，則可設(shè)，設(shè)則：

所以化簡得：；

的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，代入可得：

的中點(diǎn)為，由于得到

所以： 綜合（1）（2）得到：