Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有 成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界.

已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；

（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）-1;（2）;（3）

【解析】

試題分析：（1）因為為奇函數(shù)，所以根據(jù)奇函數(shù)的定義可得一個等式.根據(jù)等式在定義域內(nèi)恒成立可求得的值，由于真數(shù)大于零，所以排除.即可得到結(jié)論.

（2）由（1）得到的值表示出函數(shù)g(x),根據(jù)函數(shù)的定義域可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以上，.即.所以可得.即存在常數(shù)，都有.所以所有上界構(gòu)成的集合.

（3）因為函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，所以根據(jù)題意可得在上恒成立.所得的不等式，再通過分離變量求得的范圍.

試題解析：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，

所以，即，

即，得，而當(dāng)時不合題意，故. 4分

（2）由（1）得：，

下面證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

證明略. 6分

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為，

所以，故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為. 8分

（3）由題意知，在上恒成立.

，.

在上恒成立.

10分

設(shè)，，，由得,

設(shè)，，

,

所以在上遞減，在上遞增， 12分

在上的最大值為，在上的最小值為 .

所以實數(shù)的取值范圍為. 14分

考點：1.函數(shù)的奇偶性.2.新定義的函數(shù)的性質(zhì).3.函數(shù)的最值的求法.4.分離變量的思想.