Question

【題目】已知函數(shù)（，）．

（1）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）只有一個(gè)解.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)在恒成立求解即可，求解時(shí)可選用分離參數(shù)的方法．（2）由題意可得即判斷方程根的個(gè)數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)可得存在，使得 時(shí) 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)單調(diào)遞增，又，→時(shí)，→，結(jié)合圖象可得當(dāng)，時(shí)，方程有一個(gè)解，即方程只有一個(gè)解．

試題解析：

（1）∵，

∴，

由題意得在恒成立，

即在恒成立，

設(shè)，

則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，

∴．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（2）由題意得，

∴，

令，

則，

令，

則，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，

又，，

∴存在，使得 時(shí)， 單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞增，

又，→時(shí)，→，

∴當(dāng)，時(shí)，方程有一個(gè)解，

∴當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)解．