Question

【題目】在三棱柱中，側棱底面，，，。

（Ⅰ）若為線段上一點，且，求證：平面；

（Ⅱ）若分別是線段的中點，設平面將三棱柱分割成左、右兩部分，記它們的體積分別為和，求。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設條件運用線面垂直的判定定理推證；（Ⅱ）借助題設條件運用柱體和錐體的體積公式求解。

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖所示，在平面中，過點作，與相交于點。因為，所以，所以，，，四點在同一平面內(nèi)。平面平面。由，得。，所以。，，所以，，所以，所以，即。又由底面，得。

又且平面，平面。所以平面。

（Ⅱ）解：如下圖所示，當，分別是，中點時，直線與棱相交于的中點。連接，。則三角形就是平面截三棱柱的截面。

截面右側為四棱錐。所以。又三棱柱的體積。

所以。