Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè).記、的面積分別、.

（1）求的值及拋物線的方程；

（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），；（2），

【解析】

（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得的值及拋物線的方程；

（2）引入變量表示點(diǎn)坐標(biāo)，然后將直線的方程用表示，利用三角形的重心也可以把其余點(diǎn)的坐標(biāo)用變量表示，進(jìn)而將三角形面積的比值表示成關(guān)于的函數(shù)，再利用基本不等式求最小值，從而得到答案.

（1）由拋物線的性質(zhì)可得：，∴，

∴拋物線的方程為；

（2）設(shè)，，，重心，

令，，則，

由于直線過，故直線的方程為，

代入，得：，

∴，即，∴，

又，，重心在軸上，

∴，

∴，，

∴直線的方程為，得，

∵在焦點(diǎn)的右側(cè)，∴，

∴，

令，則，

，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí).