Question

已知函數f（x）=2acos²x+bsinxcosx-

3

2

，x∈R，且f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函數f（x）的圖象經過怎樣的平移才能使所得圖象對應的函數成為偶函數？（列舉出一種方
法即可）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

列式求出a，b的值，代入函數解析式后化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式得答案；
（Ⅱ）把f(x)=sin(2x+

π

3

)的相位加

π

6

或減

5π

6

即可化為偶函數，然后看變量x的變化．

解答：解：（Ⅰ）由f（0）=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

，得

2a- 3 2 = 3 2 a+ 1 2 b- 3 2 = 1 2

，∴

a= 3 2 b=1

，
∴f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
故T=π；
（Ⅱ）由于f(x)=sin(2x+

π

3

+

π

6

)=cos2x或f(x)=sin(2x+

π

3

-

5π

6

)=-cos2x，
于是將f(x)=sin(2x+

π

3

)向左平移

π

12

個單位或向右平移

5π

12

個單位，
所得圖象對應的函數均為偶函數．

點評：本題考查了三角函數中的恒等變換的應用，考查了三角函數的圖象的平移，三角函數的平移原則為左加右減上加下減．是中檔題．