Question

【題目】已知， .

（1）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析: (1)求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)小于0,根據(jù)不等式的解集得到相應(yīng)方程的兩個根,將根代入求出a值,再根據(jù)g(x)的導(dǎo)數(shù)在x=-1的值即曲線的切線斜率,利用點(diǎn)斜式求出切線方程;(2)求出不等式,分離出參數(shù)a,構(gòu)造函數(shù)h(x),利用導(dǎo)數(shù)求出最大值,求出a的范圍.

試題解析:

（1），由題意，知的解集是，

即方程的兩根分別是．（由韋達(dá)定理有∴a=-1）

將或代入方程，得，

∴， ，∴，

∴的圖像在點(diǎn)處的切線斜率，

∴函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為： ，即；

（2）∵恒成立，

即對一切恒成立，

整理可得對一切恒成立，

設(shè)，則，

令，得（舍），

當(dāng)時， 單調(diào)遞增；當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時， 取得最大值，∴．

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．