Question

14．若函數f（x）對任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）恒成立，則（　�。�

• A． 3f（ln2）＞2f（ln3）
• B． 3f（ln2）=2f（ln3）
• C． 3f（ln2）＜2f（ln3）
• D． 3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

Answer 1

分析 構造函數g（x），利用導數可判斷g（x）的單調性，由單調性可得g（ln2）與g（ln3）的大小關系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因為對任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上單調遞增，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即$\frac{f（ln2）}{{e}^{ln2}}$＜$\frac{f（ln3）}{{e}^{ln3}}$，即$\frac{f（ln2）}{2}$＜$\frac{f（ln3）}{3}$
即3f（ln2）＜2f（ln3），
故選：C．

點評 本題考查導數的運算及利用導數研究函數的單調性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據選項及已知條件合理構造函數，利用導數判斷函數的單調性．