Question

(本題滿分14分)
已知點(diǎn)及圓：.
（Ⅰ）若直線過點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線 垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）或;（Ⅱ）.（Ⅲ）不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦．

解析試題分析：（Ⅰ）圓C的圓心為，半徑，                          1分
設(shè)直線的斜率為（存在）則方程為.
由 ，解得.                                   3分
所以直線方程為，即 .                    4分
當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿足條件.            5分
（Ⅱ）由于，而弦心距，                7分
所以.所以為的中點(diǎn).
故以為直徑的圓的方程為.                      9分
（Ⅲ）把直線即．代入圓的方程，
消去，整理得．
由于直線交圓于兩點(diǎn)，
故，即，解得．            11分
則實(shí)數(shù)的取值范圍是．設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，
由于垂直平分弦，故圓心必在上．
所以的斜率，而，所以．             13分
由于，
故不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦．           14分
考點(diǎn)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：直線和圓的位置關(guān)系時(shí)除了用代數(shù)的方法外，還常常用到圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)