Question

定義在（0，∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)f（x），若f（x）的導(dǎo)函數(shù)存在且滿足

f(x)

f′(x)

＞x，則下列不等式成立的是（　�。�

A．3f（2）＜2f（3）

B．3f（4）＜4f（3）

C．2f（3）＜3f（4）

D．f（2）＜2f（1）

Answer 1

分析：依題意，f′（x）＜0，

f(x)

f′(x)

＞x?

f(x)-f′(x)•x

f′(x)

＞0⇒[

x

f(x)

]′＜0，利用h（x）=

x

f(x)

為（0，∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)即可得到答案．

解答：解：∵f（x）為（0，∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f′（x）＜0，
又∵

f(x)

f′(x)

＞x，
∴

f(x)-f′(x)•x

f′(x)

＞0?

f(x)-f′(x)•x

[f′(x)]2

＜0?[

x

f(x)

]′＜0，
設(shè)h（x）=

x

f(x)

，則h（x）=

x

f(x)

為（0，∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∵

f(x)

f′(x)

＞x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）＜0．
∵h(yuǎn)（x）=

x

f(x)

為（0，∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴

2

f(2)

＞

3

f(3)

?

2f(3)-3f(2)

f(2)•f(3)

＞0?2f（3）-3f（2）＞0?2f（3）＞3f（2），故A正確；
由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；
同理可判斷3f（4）＞4f（3），排除B；
1•f（2）＞2f（1），排除D；
故選A．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得[

x

f(x)

]′＜0是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與分析推理能力，屬于中檔題．