Question

如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為2，AC∩BD=O，將正方形ABCD沿對角線BD折起，得到三棱錐A—BCD。

   （1）求證：平面AOC⊥平面BCD；

   （2）若三棱錐A—BCD的體積為，求AC的長。

【解析】本試題主要是考查立體幾何中垂直的證明，以及利用線面的垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解三棱錐的體積，得到AC的長度。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image001.png">是正方形，

所以，．…………………………1分

在折疊后的△和△中，

仍有，．…………………………2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image006.png">，所以平面．………3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image009.png">平面，

所以平面平面．…………………………4分

（2）解：設(shè)三棱錐的高為，

由于三棱錐的體積為，

所以．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image015.png">，所以．…5分

以下分兩種情形求的長：

①當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，

由（1）知平面，所以．

又，且，所以平面．

所以為三棱錐的高，即．………………………………………6分

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image031.png">，

所以

．………………7分

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image035.png">，

則．…………………………8分

所以．…………………………9分

②當(dāng)為銳角時(shí)，如圖，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，

由（1）知平面，所以．

又，且，所以平面．

所以為三棱錐的高，即．

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image031.png">，

所以

．…………10分

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151093289578573_DA.files/image035.png">，

則．

所以．…………………11分

綜上可知，的長為或．